1，欧拉角的应用

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。在刚体的问题上，xyz坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。在量子力学里， 详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的， 并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法（称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。 欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式 ，通常在前面添上归一化因子π2 / 8。单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁(gimbal lock) 现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。

欧拉角的应用

2，若X22y23z221上M处的切平面过直线x62y1

若X2+2y2+3z2=21上M处的切平面过直线L：(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2),则M=解：设曲面F(x，y，z)=X2+2y2+3z2-21=0上的点M的坐标为(xo，yo，zo);M在曲面上，因此满足曲面方程 xo2+2yo2+3zo2=21............(1)?F/?x=2x；?F/?y=4y；?F/?z=6z；因此过M的切平面方程为：2xo(x-xo)+4yo(y-yo)+6zo(z-zo)=0，即有xox+2yoy+3zoz-(xo2+2yo2+3zo2)=0将(1)代入得过M的切平面方程为：xox+2yoy+3zoz-21=0.........(2)切平面的法向矢量n=直线L的方向数m=n⊥m，故n?m=2xo+2yo-6z0=0.............(3)令(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2)=t，则得直线L的参数方程为：x=2t+6，y=t+3，z=-2t+1；L在切平面内，因此必满足(2)式：xo(2t+6)+2yo(t+3)+3zo(-2t+1)-21=2xot+2yot-6zot+6xo+6yo+3zo-21=(2xo+2yo-6zo)t+6xo+6yo+3zo-21=0将(3)代入并化小系数得2xo+2yo+zo-7=0...........(4)(1)(3)(4)三式联立求解：(3)-(4)得-7zo+7=0，得zo=1；将zo=1代入(3)式得xo+yo-3=0...................(5)再将zo=1代入(1)式得xo2+2yo2-18=0..........(6)由(5)得yo=3-xo，代入(6)式得xo2+2(3-xo)2-18=3xo2-12xo=3xo(xo-4)=0，故xo=0或xo=4；将xo=0代入(5)时得yo=3；再将xo=4代入(5)式得yo=-1；因此M的坐标为(0，3，1)或(4，-1，1)。

若X22y23z221上M处的切平面过直线x62y1

3，若X22y23z221上M处的切平面过直线x62y1

若X2+2y2+3z2=21上M处的切平面过直线L：(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2),则M=解：设曲面F(x，y，z)=X2+2y2+3z2-21=0上的点M的坐标为(xo，yo，zo);M在曲面上，因此满足曲面方程 xo2+2yo2+3zo2=21............(1)?F/?x=2x；?F/?y=4y；?F/?z=6z；因此过M的切平面方程为：2xo(x-xo)+4yo(y-yo)+6zo(z-zo)=0，即有xox+2yoy+3zoz-(xo2+2yo2+3zo2)=0将(1)代入得过M的切平面方程为：xox+2yoy+3zoz-21=0.........(2)切平面的法向矢量n=直线L的方向数m=n⊥m，故n?m=2xo+2yo-6z0=0.............(3)令(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2)=t，则得直线L的参数方程为：x=2t+6，y=t+3，z=-2t+1；L在切平面内，因此必满足(2)式：xo(2t+6)+2yo(t+3)+3zo(-2t+1)-21=2xot+2yot-6zot+6xo+6yo+3zo-21=(2xo+2yo-6zo)t+6xo+6yo+3zo-21=0将(3)代入并化小系数得2xo+2yo+zo-7=0...........(4)(1)(3)(4)三式联立求解：(3)-(4)得-7zo+7=0，得zo=1；将zo=1代入(3)式得xo+yo-3=0...................(5)再将zo=1代入(1)式得xo2+2yo2-18=0..........(6)由(5)得yo=3-xo，代入(6)式得xo2+2(3-xo)2-18=3xo2-12xo=3xo(xo-4)=0，故xo=0或xo=4；将xo=0代入(5)时得yo=3；再将xo=4代入(5)式得yo=-1；因此M的坐标为(0，3，1)或(4，-1，1)。

若X22y23z221上M处的切平面过直线x62y1

4，欧拉角是什么

欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。 为欧拉首先提出而得名。 它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固定于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。 由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角φ称自转角。由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和 φ 也都按逆时针方向计量。 若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。 对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。 在刚体的问题上，xyz 坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。α 是 x轴与交点线的夹角，β 是 z-轴与Z轴的夹角，γ 是交点线与X轴的夹角。 我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。（ 1 ) 绕着 XYZ 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠的。开始先绕着 Z-轴旋转 α 角值。然后，绕着 X-轴旋转β 角值。最后，绕着 Z-轴作角值 γ 的旋转。（ 2 ) 绕着 xyz 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠的。开始先绕着 z-轴旋转 γ角值。然后，绕着 x-轴旋转β 角值。最后，绕着 z-轴作角值α的旋转。
欧拉角是用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，因为欧拉首先提出而得名。

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